1 2 3 4 5 6

Разбивая расчетную область на элементарные отрезки, площади или объемы (определяется размерностью задачи), и выбирая весовую функцию одновременно равную единице (w = 1) в одной ячейке и нулю во всех остальных, получаем систему уравнений, позволяющую определить все неизвестные [12]. Полученный частный случай метода взвешенных невязок называется методом контрольных объемов [12] или методом подобластей [17], а в [14] этот метод называется интегро – интерполяционным. Равенство невязки по каждому контрольному объему нулю обеспечивает консервативность решения (соблюдение законов сохранения).

Метод контрольных объемов имеет четкую физическую интерпретацию, описанную в [12, 17]. Расчетную область разбивают на конечное число контрольных объемов, в центры тяжести которых располагают узловые точки. Дифференциальные уравнения законов сохранения массы, энергии, количества движения интегрируют по каждому объему. Вычисляют интегралы, задаваясь кусочными профилями изменения массы, энергии, количества движения между узловыми точками.

Большая часть практически значимых задач, моделируемых посредством спектрального и конечно – элементного методов, относятся к пространственным задачам. Приведенное выше описание спектрального метода показывает, что поведение численного решения в исследуемой области чувствительно даже к малому изменению неизвестного коэффициента пробной функции. В таком случае спектральный метод хорошо подходит для решения эллиптических уравнений задач математической физики. Метод конечных элементов при любой формулировке – вариационной или на основе метода Галеркина, тоже эллиптический. В виду локального характера пробных функций влияние возмущения, созданного в одной из подобластей на всю расчетную область, оказывается неявным [11, 17].

Важным свойством гиперболических и параболических задач является то, что возмущения оказывают свое влияние лишь на часть области. К примеру, в нестационарной параболической задаче возникшее возмущение может нарастать исключительно в направлении увеличения времени. Исследование двухмерного пограничного слоя приводит к параболической задаче по координате, направленной вдоль течения.

Свойство параболических задач распространять возмущение в направлении увеличения времени требует использования односторонних конечных разностей [17]. Области влияния и зависимости в гиперболических задачах при решении методами конечных разностей и контрольных объемов определяются путем обращения к условию Куранта - Фридрихса - Леви [2, 6, 16, 17]. Используя условие Куранта - Фридрихса - Леви, подбирается такой шаг по времени Δτ, при котором вычислительная область зависимости включала бы в себя всю физическую область зависимости [17].

Учитывая свойства гиперболических и параболических задач, наиболее приемлемыми методами для их решения являются метод конечных разностей и интегро-интерполяционный. Кроме того, если исследуемый физический процесс предполагает переход от нестационарного режима к стационарному, т.е. от параболической или гиперболической задачи к эллиптической, то оба метода позволяют автоматически осуществить такой переход.

Процесс дискретизации дифференциального уравнения подразумевает переход от области непрерывного изменения аргумента к области дискретного его изменения. Для этого расчетную область разбивают на некоторое конечное множество ячеек, образующих сетку [12, 14, 16, 17]. Внутри ячеек размещают точку, называемую узлом ячейки. Существует два основных способа взаимного расположения узлов ячеек и граней [12]: I) грани расположены посередине между узлами ячейки; II) узлы ячеек расположены в центре тяжести контрольного объема. Обращает на себя внимание тот факт, что равномерная сетка, т.е. сетка с равными между собой контрольными объемами, обладает положительными свойствами обоих способов, не вбирая их недостатков. Способ I обеспечивает точный расчет значения потока зависимой переменной (теплового или диффузионного потока) через грани благодаря тому, что наклон кусочно-линейного профиля переменной равен наклону любого параболического профиля, рассчитанного посередине между узловыми точками [12]. В этом случае при использовании кусочно-линейного профиля зависимой переменной можно добиться той же точности, что и при использовании более корректного параболического профиля. При способе I значение зависимой переменной (массовая концентрация химической компоненты, температура, кинетическая энергия турбулентности) в узловой точке нельзя считать характерным для всего контрольного объема при расчете коэффициента диффузии, потока зависимой переменной, мощности источника энергии и т.д. Способ II лишен этих недостатков, т.к. сутью самого метода является то, что узел ячейки находится в центре тяжести контрольного объема. Основным достоинством способа II является то, что он обеспечивает адаптацию сетки в подобластях сосредоточения особенностей решения (рисунок 3).

а - четырехугольники; б - ячейки Дирихле

Рисунок 3. Адаптивные сетки

Применение адаптивных сеток (рисунок 3) в задачах математической физики дает возможность значительно улучшить точность расчета исследуемой переменной, если ее поведение неоднородно в расчетной области, и решение имеет значительные градиенты. Термин «адаптация» в вычислительной математике подразумевает сгущение сетки в зонах физических (ударные волны, разрывные коэффициенты и т.п.) или геометрических особенностей, что дает возможность применять однородные вычислительные схемы [10, 14], когда для каждого узла ячейки вычисление идет по одному алгоритму. Для нестационарных задач характерно применение динамических сеток [49], что позволяет перестраивать сетки с течением времени. Метрика адаптивных сеток, основанных на ячейках Дирихле [4, 10], обладает наибольшим удобством. Ячейки Дирихле используют для описания сложных расчетных областей, где затруднительно добиться ортогональности сетки. Как указывается в [10], применение адаптивных сеток, состоящих из ячеек Дирихле, позволяет повысить точность расчетов в 1,5 - 2 раза.

Дискретизация исследуемой области по способу I присуща спектральному и конечно-разностному методам. Кроме того, метод конечных разностей требует введения фиктивных узлов за пределами расчетной области, если мы хотим вычислить производные на ее границе. Способ II наиболее приемлем для методов конечных элементов и контрольных объемов.

Именно метод контрольных объемов позволяет, с одной стороны, решать параболические, гиперболические и эллиптические задачи, а с другой – использовать адаптивные сетки. Из всех описанных методов вычислительной математики только метод контрольных объемов сочетает в себе такие свойства, это и является основной причиной выбора этого метода для решения задачи нестационарной теплопроводности в расчетной области со сложной геометрией. К недостаткам реализации метода контрольных объемов в [12] и [14] относится то, что используется регулярная сетка, а в [12] метод имеет вид конечно-разностного.

Читать далее