1 2 3 4 5 6

Пусть положение любой точки пространства определяется тремя координатами l₁ , l₂ , l₃ [1]. В общем случае система координат, образуемая l₁ , l₂ , l₃ является криволинейной. Установим прямую (x = x(l₁ , l₂ , l₃), y = y(l₁ , l₂ , l₃), z = z(l₁ , l₂ , l₃)) и обратную (l₁ = l₁(x, y, z), l₂ = l₂(x, y, z), l₃ = l₃(x, y, z)) связи между декартовой и криволинейной системами координат. Длина элементарной дуги d∫ может быть определена как ортами dx, dy, dz декартовой системы координат, так и ортами dl₁, dl₂, dl₃ криволинейной системы координат [1]:

(9).

Введенный в (9) множитель H_ij называется коэффициентом Ляме

(10).

Если криволинейная координатная система ортогональна, то для коэффициентов Ляме справедливо утверждение H_ij = 0, если i ≠ j. В этом случае уравнения (9) и (10) примут вид [1]:

(11) ,

(12).

В соответствии с рисунком 4 могут быть установлены следующие значения длин ребер d∫_i, площадей элементарных граней dS_ij и элементарного объема dW

(13).

Рисунок 4. Элементарный объем в произвольной ортогональной системе координат

Реализуем метод конечных объемов в виде интегральной записи закона сохранения энергии для элементарного объема. Интегральная формулировка закона сохранения энергии [1] произвольного ограниченного объема сплошной среды основывается на том, что изменение полной энергии (сумма внутренней и кинетической энергии) определяется воздействием источников энергии, размещенных в элементарном объеме dW, работой объемных сил F, поверхностных сил τ_n (сил давления и сил трения), тепловыми потоками Q_n через поверхности объема:

(14).

При переходе к уравнению теплопроводности в конденсированной среде с твердофазными химическими реакциями слагаемые, характеризующие кинетическую энергию, работу объемных и поверхностных сил, приравнивают нулю. Для замены интегралов по поверхности интегралами по объему используем теорему Остроградского - Гаусса:

(15).

Тогда уравнение (14) с учетом (13) и (15) учетом [1]:

(16)

где
l₁ , l₂ , l₃ – координатные линии;
H₁ , H₂ , H₃ – коэффициенты Ляме для соответствующих координатных линий;
E – теплосодержание сплошной среды;
ε_E – мощность источника энергии;
Q_q1 , Q_q2 , Q_q3 – поток тепла через поверхность объема, ортогональную соответвующией координатной линии.

Перейдем в уравнении (16) к цилиндрической системе координат и произведем следующие замены: l₁ = r, l₂ = Θ, l₃ = z, H₁ = 1, H₂ = r, H₃ = 1, l_1- = r_-, l₁₊ = r₊, l_2- = Θ_-, l₂₊ = Θ₊, l_3- = z_-, l₃₊ = z₊, Q_q1 = q_r, Q_q2 = q_Θ, Q_q3 = q_z, E = c • T.

(17)

Применяя к слагаемым уравнения (17) соотношения, приведенные в [18] получаем:

(18).

Обозначим: z₊ − z_- = Δz, r₊ − r_- = Δr, 0,5 • (r₊ + r_-) = r, 0,5 • (r₊² + r_-²) = r • Δr. Для осесимметричного случая Θ₊ = 2π, Θ_- = 0, q_Θ+ = q_Θ-, тогда:

(19) ,

где
;
2π • r • Δr • Δz = Δν;
2π • r_- • Δz = S_r-;
2π • r₊ • Δz = S_r+;
2π • r₊ • Δr = S_z.

(20)

Знаки перед тепловыми потоками определяются распределением температурного поля.

Читать далее