1 2 3 4

Сходимость означает уменьшение до нуля ошибки численного решения по мере того, как размеры контрольных объемов расчетной области стремятся к нулю [9, 11, 12, 14]. Для ряда задач теплопроводности существуют аналитические решения [3, 4, 6 - 8]. На последовательно измельчаемой сетке контрольных объемов можно убедиться в сходимости численного решения к аналитическому.

Рассмотрим прогрев алюминиевого полого цилиндра, изображенного на рисунке 1.

Рисунок 1. Расчетная схема однородного полого цилиндра

Математическая постановка задачи имеет вид:

где Ρ_m = 2700 (кг/м³) – плотность алюминия [13];
C_m = 900 (Дж/кг•К) – теплоемкость алюминия [13];
Κ_m = 237 (Дж/м•с•К) – коэффициент теплопроводности алюминия [13].

Начальные и граничные условия для задачи принимаются следующими:

где r₁ = 0,001 (м), r_n = 0,011 (м).

При численном решении задачи теплопроводности используется метод контрольных объемов.

В расчетах использовались три типа ячеек, изображенные на рисунках 2 - 4.

Рисунок 2. Ячейки прямоугольного сечения

Рисунок 3. Ячейки треугольного сечения

Рисунок 4. Ячейки треугольного сечения

Расчетная область разбивается на одинаковые элементарные объемы размером Δ_r = 5•10^-5 (м). В таком случае количество элементарных объемов, изображенных на рисунках 2 - 4, соответственно равны N = 200, N = 400, N = 800.

При расчетах принимались следующие отношения .

Расстояние между узлами треугольных ячеек: ; ; . Значение углов треугольных ячеек приведено в таблице 1.

Таблица 1. Углы треугольных ячеек

	, град.	, град.	, град.
0,25	61,9275	7,125	61,9275
0,5	36,8699	14,0362	36,8699
1	0	26.5651	0
2	36,8699	45,0	36,8699
4	61,9275	63,4349	61,9275

В расчетах используем одинаковый шаг по времени, обеспечивающий устойчивость численного решения [14] для всех типов ячеек и во всем диапазоне отношений = 2,5•10^-7 (с).

Читать далее