Сходимость численного решения |
Сходимость означает уменьшение до нуля ошибки численного решения по мере того, как размеры контрольных объемов расчетной области стремятся к нулю [9, 11, 12, 14]. Для ряда задач теплопроводности существуют аналитические решения [3, 4, 6 - 8]. На последовательно измельчаемой сетке контрольных объемов можно убедиться в сходимости численного решения к аналитическому. Рассмотрим прогрев алюминиевого полого цилиндра, изображенного на рисунке 1. Рисунок 1. Расчетная схема однородного полого цилиндра Математическая постановка задачи имеет вид: где Ρm = 2700 (кг/м³) – плотность алюминия [13]; Начальные и граничные условия для задачи принимаются следующими: где r1 = 0,001 (м), rn = 0,011 (м). При численном решении задачи теплопроводности используется метод контрольных объемов. В расчетах использовались три типа ячеек, изображенные на рисунках 2 - 4. Рисунок 2. Ячейки прямоугольного сечения Рисунок 3. Ячейки треугольного сечения Рисунок 4. Ячейки треугольного сечения Расчетная область разбивается на одинаковые элементарные объемы размером Δr = 5•10-5 (м). В таком случае количество элементарных объемов, изображенных на рисунках 2 - 4, соответственно равны N = 200, N = 400, N = 800. При расчетах принимались следующие отношения . Расстояние между узлами треугольных ячеек: ; ; . Значение углов треугольных ячеек приведено в таблице 1. Таблица 1. Углы треугольных ячеек
В расчетах используем одинаковый шаг по времени, обеспечивающий устойчивость численного решения [14] для всех типов ячеек и во всем диапазоне отношений = 2,5•10-7 (с). |