Сходимость численного решения (3)

1 2 3 4

Для решения задачи о нестационарной теплопроводности тонкостенного алюминиевого цилиндра методом контрольных объемов воспользуемся математической моделью, приведенной в (1). Зададимся следующими граничными и начальными условиями:

где r1 = 1,0(м), rn = 1,003(м).

Свойства расчетной области:

  • материал вольфрам с теплофизическими свойствами [13]: κm, cm, ρm;
  • α = 1163 (Дж/(м²•с•К)) – коэффициент теплоотдачи продуктов сгорания, Tg = 2300 K – температура продуктов сгорания, αv = 58,3 (Дж/(м²•с•К)) – коэффициент теплоотдачи воздуха, Tv = 293 K – температура воздуха;
  • расчетная область разбивается на элементарные объемы прямоугольного сечения (рисунок 2);
  • расчетная область делится на 120 равных ячеек размером Δr = 2,5•10-5(м);
  • шаг по времени Δτ = 2,5•10-7 (c).

В работе [1, 5] приводится аналитическое решение данной задачи:

1 – аналитическое решение; 2 – численное решение

Рисунок 11. Изменение температуры в точке r=1.0015(м)

Сравнение аналитического и численного решения на рисунке 11 показывает, что погрешность не превышает 10%.

На рисунке 12 изображены многослойная пластина и многослойный полый цилиндр, состоящие из алюминия и пороха «Н».

1 – алюминий; 2 – порох «Н»
а – многослойная пластина; б – полый многослойный цилиндр

Рисунок 12. Расчетная схема

Задачи прогрева многослойной пластины в осевом направлении и полого многослойного цилиндра в радиальном направлении требуют следующей математической постановки:

  • многослойная пластина

  • полый многослойный цилиндр

где ρt = 1600 (кг/м³) – плотность пороха «Н» [2];
ct = 1465 (Дж/кг•К) – теплоемкость пороха «Н» [2];
κt = 0.234 (Дж/м•с•К) – коэффициент теплопроводности пороха «Н» [2].

Начальные и граничные условия для задачи теплопроводности в многослойной пластине:

где z1 = 0,0 (м), zn = 0,007 (м).

При численном решении обеих задач теплопроводности используется метод контрольных объемов.

Начальные и граничные условия для задачи теплопроводности в многослойном полом цилиндре:

где r1 = 0,001 (м), rn = 0,008 (м).

Порох «Н» заполняет следующие интервалы расчетной области:

  • многослойная пластина

0,0019 (м) ≤ z ≤ 0,0024 (м);
0,0043 (м) ≤ z ≤ 0,0048 (м);

  • полый многослойный цилиндр

0,0029 (м) ≤ r ≤ 0,0034 (м);
0,0053 (м) ≤ r ≤ 0,0058 (м).

Расчетная область, заполненная порохом «Н» делится на равные ячейки размером Δz = Δr = 5•10-5(м).

Читать далее